Fibonacci-reeksformule: Fibonacci-getallen vinden?

De Fibonacci-reeks is een patroon van getallen dat overal in de natuur voorkomt.

Ga naar sectie

• Wat is de Fibonacci-reeks?
• De oorsprong van de Fibonacci-reeks
• Fibonacci-getalformule
• Fibonacci-reeks en de gulden snede
• Fibonacci-reeks in de natuur
• Kom meer te weten
• Meer informatie over de MasterClass van Neil deGrasse Tyson

De beroemde astrofysicus Neil deGrasse Tyson leert je objectieve waarheden te vinden en deelt zijn tools om te communiceren wat je ontdekt.

Wat is de Fibonacci-reeks?

De Fibonacci-reeks is een van de meest bekende formules in de getaltheorie en een van de eenvoudigste gehele reeksen gedefinieerd door een lineaire recursierelatie. In de getallenreeks van Fibonacci is elk getal in de rij de som van de twee getallen ervoor, met 0 en 1 als de eerste twee getallen. De getallenreeks van Fibonacci begint als volgt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, enzovoort. De reeks van Fibonacci is nuttig voor zijn toepassingen in geavanceerde wiskunde en statistiek, informatica, economie en natuur.

in het eenvoudige circulaire stromingsmodel,

De oorsprong van de Fibonacci-reeks

De Fibonacci-reeks verschijnt voor het eerst in oude Sanskrietteksten al in 200 voor Christus, maar de reeks was pas in 1202 algemeen bekend in de westerse wereld toen de Italiaanse wiskundige Leonardo Pisano Bogollo het publiceerde in zijn boek met berekeningen genaamd Liber Abaci . Leonardo ging ook door de bijnaam Leonardo van Pisa, maar het was pas in 1838 dat historici hem de bijnaam Fibonacci gaven (grofweg vertaald naar 'zoon van Bonacci'). Naast het populariseren van de Fibonacci-reeks, is het boek van Fibonacci Liber Abaci pleitte voor het gebruik van hindoe-Arabische cijfers (1, 2, 3, 4, enz.) en hielp het Romeinse cijfersysteem (I, II, III, IV, enz.) in heel Europa te vervangen.

In Liber Abaci , werd de Fibonacci-reeks eigenlijk gebruikt om een ​​hypothetisch wiskundig probleem te beantwoorden met betrekking tot de groei van de konijnenpopulatie: als een enkel paar konijnen aan het einde van elke maand paren, dan wordt een nieuw paar konijnen geboren een maand nadat ze paren, en alle nieuwe paren van konijnen konijnen volgen hetzelfde patroon, hoeveel paren of konijnen zullen er in een jaar bestaan? Hier is hoe u dit probleem zou beginnen te beantwoorden:

• Begin met 1 paar konijnen.
• Aan het einde van de eerste maand is er nog maar 1 paar konijnen sinds ze hebben gepaard, maar nog niet zijn bevallen.
• Aan het einde van de tweede maand zijn er twee paar konijnen sinds het eerste paar hebben nu een tweede paar geboren.
• Aan het einde van de derde maand zijn er: 3 paar konijnen. Dit komt omdat het eerste paar een derde paar heeft gebaard, maar het tweede paar heeft alleen gepaard.
• Aan het einde van de vierde maand zijn er nu 5 paar konijnen. Dit komt omdat het eerste paar een ander paar heeft gebaard en het tweede paar nu hun eerste paar heeft gebaard.

Zoals je kunt zien, volgt dit 1, 1, 2, 3, 5 patroon de Fibonacci-reeks. Als je 12 maanden doorgaat, wordt het aantal paren gelijk aan 144.

Fibonacci-getalformule

Gebruik de formule om elk opeenvolgend Fibonacci-getal in de Fibonacci-reeks te berekenen:

waarbij 𝐹 het 𝑛e Fibonacci-getal in de reeks is, en de eerste twee getallen, 𝐹0 en 𝐹1 , zijn respectievelijk ingesteld op 0 en 1.

Het enige probleem met deze formule is dat het een recursieve formule is, wat betekent dat het elk nummer van de reeks definieert met behulp van de voorgaande nummers. Dus als je het tiende getal in de Fibonacci-reeks wilt berekenen, moet je eerst het negende en achtste berekenen, maar om het negende getal te krijgen, heb je de achtste en zevende nodig, enzovoort.

Om een ​​willekeurig getal in de Fibonacci-reeks te vinden zonder een van de voorgaande getallen, kunt u een uitdrukking in gesloten vorm gebruiken die de formule van Binet wordt genoemd:

In de formule van Binet staat de Griekse letter phi (φ) voor een irrationeel getal dat de gulden snede wordt genoemd: (1 + √ 5)/2, waarbij afgerond op de dichtstbijzijnde duizendste plaats gelijk is aan 1,618.

Fibonacci-reeks en de gulden snede

De gulden snede (of gulden snede) is een irrationeel getal dat ontstaat wanneer de verhouding van twee getallen gelijk is aan de verhouding van hun som tot het grootste van de twee getallen. De Fibonacci-reeks is nauw verbonden met de gulden snede, omdat naarmate de Fibonacci-getallen toenemen, de verhouding van twee opeenvolgende Fibonacci-getallen steeds dichter bij de gulden snede komt.

Masterclass

Voorgesteld voor jou

Online lessen gegeven door 's werelds grootste geesten. Breid uw kennis uit in deze categorieën.

Leert wetenschappelijk denken en communiceren

Leert Conservering

Leert ruimteverkenning

Leert de wetenschap van beter slapen

hoeveel ounces in een fles wijn van 750 ml?

Fibonacci-reeks in de natuur

Denk als een professional

De beroemde astrofysicus Neil deGrasse Tyson leert je objectieve waarheden te vinden en deelt zijn tools om te communiceren wat je ontdekt.

Er is veel verkeerde informatie over waar je de Fibonacci-reeks en de gulden snede in de echte wereld kunt vinden; ondanks wat je misschien leest, werd de gulden snede niet gebruikt om de piramides in Gizeh te bouwen, en de nautiluszeeschelp laat geen nieuwe cellen groeien op basis van de Fibonacci-reeks.

Maar deze wiskundige eigenschappen achter de Fibonacci-reeks en de gulden snede komen op een aantal manieren in de natuur voor. Je kunt bijvoorbeeld de gulden snede vinden in de spiraalvormige opstelling van bladeren (een phyllotaxis genoemd) op sommige planten, of in het gouden spiraalpatroon van dennenappels, bloemkool, ananas en de rangschikking van zaden in zonnebloemen. Bovendien is het aantal bloembladen op een bloem typisch een Fibonacci-getal.

Verder volgt de stamboom van een honingbij-drone de Fibonacci-reeks. Dit komt omdat een mannelijke dar uit een onbevrucht ei komt en maar één ouder heeft, terwijl vrouwelijke bijen twee ouders hebben. Dit resulteert in de stamboom van een drone die bestaat uit één ouder, twee grootouders, drie overgrootouders, vijf betovergrootouders, enzovoort in de hele Fibonacci-reeks.

Kom meer te weten

Pak de MasterClass Jaarlidmaatschap voor exclusieve toegang tot videolessen die worden gegeven door zakelijke en wetenschappelijke beroemdheden, waaronder Neil deGrasse Tyson, Chris Hadfield, Jane Goodall en meer.